anyenvの問題点ははただの「**envをインストールソフト」であり、nodenvやpyenvなどそれぞれの利用法を知っている必要があります。
asdfは実行環境ごとのプラグインを介して直接バージョンを管理するため
どの実行環境でも同様に扱うことができます。
ある日突然「PHPの5.3のバイナリが欲しい…」となっても使い方を迷う必要がありません。

例としてnodejsであれば

asdf install nodejs 16.1.0

Pythonであれば

asdf install python 3.9.5

でインストールが可能です。

また、nodejsであれば lts-fermium のようにタグで指定することも可能です。
自分はグローバルにインストールするものは「一番新しいLTSの最新バージョン」を利用することにしているので、非常に便利です。（nodenvではこれができませんでした。）
また、.asdfrc に legacy_version_file = yes を追加することで .node-version なども自動的に読み込み、ディレクトリによって自動的にバージョンを切り替えることもできます。

注意点としては、ビルドする関係上、使用するプラグイン（実行環境）によって依存するライブラリがあるため、そのインストールは別途必要になります。

anyenvより圧倒的に使いやすいので、anyenvやその他のバージョン管理ツールを利用している場合は、asdfへの移行を強くおすすめします。